Black Corsa 01 Swan Nero Puma White Wn's Donna da Ignite Scarpe puma Dual Puma Dinamiche geometriche e dinamiche mentali in ambiente Cabri
Introduzione
Gli studi condotti sulla generazione e validazione di idee matematiche da parte di studenti sono focalizzati principalmente su ragionamenti di tipo induttivo e deduttivo (Balacheff, 1987; Bell, 1976). Con ragionamento induttivo si intende il processo che, a partire da regolarità osservate esaminando casi particolari, porta a conclusioni che hanno l’ambizione di avere validità generale. Con ragionamento deduttivo ci si riferisce al processo che consente di trarre conclusioni a partire da ipotesi, assiomi o teoremi.
L’osservazione di dati provenienti da progetti di ricerca ha condotto M. Simon (1996) a individuare un altro tipo di ragionamento, detto “trasformazionale” (trasformational reasoning); esso consiste nell’operare su oggetti e situazioni di studio mediante trasformazioni successive. Nel ragionamento trasformazionale risulta fondamentale l’abilità di considerare un processo dinamico, spesso derivato da immagini mentali (riproduttive o anticipatorie), dal quale lo studente ottiene informazioni, acquisisce maggiore comprensione dell’oggetto di studio ed è così in grado di generare congetture. Non si tratta di ragionamento deduttivo, né di ragionamento induttivo, ma di qualcosa di fondamentalmente diverso, osservato nei protocolli degli studenti che fanno attività matematica, soprattutto geometrica. Un esempio particolarmente esplicativo, è stato descritto dallo stesso Simon: durante una lezione di geometria l’insegnante di una classe vuole introdurre il teorema della congruenza degli angoli alla base di un triangolo isoscele e agli studenti viene chiesto di esplorare un triangolo isoscele mediante un software di geometria dinamica. L’insegnante prevede che i suoi studenti producano la congettura attraverso un procedimento di tipo induttivo, per poi dimostrarla con un ragionamento di tipo deduttivo. Una studentessa, Mary, inventa un modo originale di studiare la relazione tra i lati e gli angoli alla base di un triangolo isoscele: Mary vede nella sua mente un triangolo isoscele, non come una figura statica di determinate dimensioni, ma piuttosto come un processo dinamico che genera triangoli dagli estremi di un segmento. Il suo modello mentale dinamico le ha permesso di conoscere non solo le relazioni tra lati e angoli alla base di un triangolo isoscele, ma anche la ragione per cui lunghezze diverse dei lati di un triangolo implicano angoli alla base diversi. Il ragionamento trasformazionale si rivela un modo efficace per comprendere la matematica. Durante i suoi studi, Simon ha osservato che molti di coloro che non hanno generato spontaneamente un ragionamento trasformazionale non hanno incontrato difficoltà a produrre le stesse immagini mentali una volta che ne hanno sentito la descrizione fatta da altri. Scarpe Swan puma Wn's Dual Nero Puma Black Corsa Donna Ignite 01 White Puma da Scarpe 01 Corsa White da puma Puma Puma Dual Swan Black Ignite Donna Nero Wn's Gli esempi in cui viene utilizzato un tale ragionamento possono avere diversi livelli di difficoltà, di efficacia e di generalità; quasi sempre, però, si è osservato che il ragionamento trasformazionale può essere utile per numerose funzioni cognitive, come condurre gli studenti a porsi nuove domande e problemi, a generare congetture, validarle e produrre legami tra idee matematiche. Risulta perciò importante promuovere nelle attività di classe lo sviluppo di questo tipo di ragionamento. Un software di geometria dinamica come Cabri, per esempio, può essere uno strumento utile per aiutare gli studenti a produrre ed elaborare ragionamenti trasformazionali. Contesto in cui si colloca il progetto didattico Il progetto didattico Ciascuna di esse costituisce una situazione problematica formulata in modo aperto. Per esempio, la seconda: IL PROBLEMA DEI QUATTRO QUADRATI Situazione La proposta di lavoro, trattandosi di un problema aperto, non contiene l’esplicitazione di tutte le richieste, in modo da spingere i ragazzi stessi a porsi domande e a riflettere sulle proprietà geometriche dei quadrilateri per individuare possibili relazioni geometriche tra il quadrilatero di partenza (ABCD) e il quadrilatero (EFGH) ottenuto congiungendo i centri dei quattro quadrati (Figura 1). |
Dual da 01 Ignite White Puma Black Corsa puma Wn's Scarpe Donna Puma Nero Swan Fig. 1 |
Nella fase di costruzione i ragazzi devono però rendersi conto che per alcune costruzioni hanno bisogno di utilizzare le conoscenze di geometria; per esempio, non possono costruire i quadrati e i loro centri “a occhio”. Per costruire la figura occorre ripetere per quattro volte uno stesso procedimento, ossia disegnare il quadrato dato il lato e il centro di tale quadrato; per velocizzare la fase di costruzione è possibile utilizzare una macro-costruzione, un utile strumento di Cabri che permette agli studenti di creare, salvare e usare quando lo ritengono opportuno, una procedura di costruzione di un dato oggetto.
Dual 01 Ignite Puma puma Swan Black Corsa Scarpe White Donna da Nero Wn's Puma Red da Scarpe 750 Blue Uomo ZX White Ginnastica adidas Wqg8nEtFwx Dopo aver costruito la figura con Cabri, in ogni gruppo i ragazzi possono testare la correttezza o meno della loro costruzione, utilizzando la prova del trascinamento, cioè verificando se, modificando liberamente il quadrilatero iniziale (ABCD), ad esempio muovendo uno dei vertici del quadrilatero, in corrispondenza a tali modifiche, i quadrati si muovono di conseguenza, mantenendo intatta la proprietà di essere ancora quadrati, mentre i punti E, F, G, H continuano ad essere i centri di tali quadrati. Se la costruzione è corretta si osserva perciò che i punti A,B,C,D possono essere liberamente mossi sullo schermo (perché hanno due gradi di libertà), mentre i punti del quadrilatero EFGH, tra cui i suoi vertici, non possono essere liberamente spostati sullo schermo, si tratta di punti non liberi (con zero gradi di libertà). Durante la fase di esplorazione le possibili congetture formulate grazie all’uso del trascinamento e di altri strumenti, quali la misura di lunghezze e angoli, sono: • SE ABCD è un quadrato ALLORA EFGH è un quadrato e i punti EFGH sono i punti medi dei lati di ABCD. • SE ABCD è un rettangolo ALLORA EFGH è un quadrato e i vertici di ABCD appartengono ai lati di EFGH (ma non sono più i punti medi). Nero 01 Donna Wn's Ignite Dual Black Corsa Scarpe da Swan White puma Puma Puma • SE ABCD è un rombo ALLORA EFGH è un quadrato (ma i vertici di ABCD non appartengono ai lati di EFGH). • SE ABCD è un parallelogramma ALLORA EFGH è un quadrato. • SE ABCD è un quadrilatero qualunque, ALLORA EFGH ha le diagonali uguali e perpendicolari. Analizzando il problema a priori, ci si aspetta che i ragazzi comincino questa fase esplorando inizialmente a caso, provando a trascinare uno o più vertici di ABCD, per poi passare ad analizzare casi generali e particolari (figure convesse, figure concave, quadrati, rettangoli, parallelogrammi generici, trapezi …). È probabile che inizialmente gli studenti osservino la continua variazione dei quadrilateri sullo schermo, cercando di trarre informazioni, e che solo in un secondo tempo comincino a formulare congetture. A priori non è possibile prevedere se i vari gruppi inizieranno a elaborare congetture considerando ABCD un parallelogramma particolare (un quadrato, un rettangolo, un rombo) per arrivare successivamente a considerare il caso in cui ABCD sia un quadrilatero generico, o viceversa, poiché i vari gruppi hanno piena libertà di indagare. |
Fig. 2
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L’affermazione “Magari è un quadrato” scaturisce dal notare che un vertice (A) appartiene a un lato del quadrilatero EFGH, dal vedere dinamicamente la possibilità che anche gli altri tre vertici possano stare sui lati del quadrilatero e dall’anticipare il risultato “quadrato” come condizione di massima simmetria. Si tratta di un esempio di ragionamento trasformazionale che aiuta gli studenti a formulare una congettura in un caso particolare, che dà loro modo di risolvere il problema tramite un risultato, per passare successivamente ad altre configurazioni. Il trascinamento è il valore aggiunto, rispetto alla staticità della carta e matita, che favorisce l’esplorazione degli studenti e la formulazione di congetture, anticipando risultati sulle configurazioni geometriche. La dinamicità del software influenza la dinamicità del pensiero, in questo supporta il ragionamento trasformazionale (che potrebbe esistere di per sé anche in ambiente carta e matita). La misura costituisce un altro supporto, che offre la possibilità di verificare la congettura formulata, per avere conferma del risultato dell’intuizione.
Fase finale del processo sarà la dimostrazione della congettura, condotta ovviamente con ragionamento deduttivo, ma aiutata certamente da tutta la fase esplorativa precedente. Il CD che abbiamo preparato si presenta come uno strumento per il docente, in quanto mostra non solo i problemi, ma anche le varie congetture e le dimostrazioni, insieme con la descrizione di tutta l’attività di classe, corredata da parti di protocolli di gruppi di studenti, parti di discussioni collettive e soluzioni scritte dai ragazzi stessi. Si tratta di uno strumento utile per l’insegnante, proprio perché offre materiali sperimentati e la “cronaca” delle sperimentazioni, in modo che siano visibili difficoltà degli studenti, interazione con l’insegnante e costruzione di significati matematici. |
Bibliografia
Balacheff, N. (1987). Processus de preuve et situations de validation, Educational Studies in mathematics, 18, 147-176. Bell, A. (1976). A study of pupils’ proof-explanations in mathematical situations, Educational Studies in Mathematics, 7, 23-40. Mariotti, M.A, Paola, D, Robutti, O. & Venturi, D. (2004). Quaderno Interattivo di Geometria, CD. Media Direct. puma Donna da Dual Puma Scarpe Wn's Black 01 White Corsa Nero Ignite Puma Swan Paola, D. (2004). Software di geometria dinamica per un sensato approccio alla dimostrazione in geometria: un esempio di Laboratorio di matematica, Progetto Alice, v. 5, n.13, 103 – 121. Equitazione Alta Pirata Donna Coscia Stivali Scarpe Bianco Moda Alto Inverno dBHwxq Robutti, O. (2005). Un progetto con Cabri per la scuola superiore, in: L. Giacardi, M. Mosca & O. Robutti (eds.), Mathesis Subalpina, Conferenze e Seminari, 2004-2005, 281-292. Simon, M. (1996). Beyond inductive and deductive reasoning: the search for a sense of knowing, Educational Studies in mathematics, 30, 197-210. |