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Introduzione

Gli studi condotti sulla generazione e validazione di idee matematiche da parte di studenti sono focalizzati principalmente su ragionamenti di tipo induttivo e deduttivo (Balacheff, 1987; Bell, 1976). Con ragionamento induttivo si intende il processo che, a partire da regolarità osservate esaminando casi particolari, porta a conclusioni che hanno l’ambizione di avere validità generale. Con ragionamento deduttivo ci si riferisce al processo che consente di trarre conclusioni a partire da ipotesi, assiomi o teoremi.
L’osservazione di dati provenienti da progetti di ricerca ha condotto M. Simon (1996) a individuare un altro tipo di ragionamento, detto “trasformazionale” (trasformational reasoning); esso consiste nell’operare su oggetti e situazioni di studio mediante trasformazioni successive. Nel ragionamento trasformazionale risulta fondamentale l’abilità di considerare un processo dinamico, spesso derivato da immagini mentali (riproduttive o anticipatorie), dal quale lo studente ottiene informazioni, acquisisce maggiore comprensione dell’oggetto di studio ed è così in grado di generare congetture. Non si tratta di ragionamento deduttivo, né di ragionamento induttivo, ma di qualcosa di fondamentalmente diverso, osservato nei protocolli degli studenti che fanno attività matematica, soprattutto geometrica.
Un esempio particolarmente esplicativo, è stato descritto dallo stesso Simon: durante una lezione di geometria l’insegnante di una classe vuole introdurre il teorema della congruenza degli angoli alla base di un triangolo isoscele e agli studenti viene chiesto di esplorare un triangolo isoscele mediante un software di geometria dinamica. L’insegnante prevede che i suoi studenti producano la congettura attraverso un procedimento di tipo induttivo, per poi dimostrarla con un ragionamento di tipo deduttivo. Una studentessa, Mary, inventa un modo originale di studiare la relazione tra i lati e gli angoli alla base di un triangolo isoscele: Mary vede nella sua mente un triangolo isoscele, non come una figura statica di determinate dimensioni, ma piuttosto come un processo dinamico che genera triangoli dagli estremi di un segmento. Il suo modello mentale dinamico le ha permesso di conoscere non solo le relazioni tra lati e angoli alla base di un triangolo isoscele, ma anche la ragione per cui lunghezze diverse dei lati di un triangolo implicano angoli alla base diversi.
Il ragionamento trasformazionale si rivela un modo efficace per comprendere la matematica. Durante i suoi studi, Simon ha osservato che molti di coloro che non hanno generato spontaneamente un ragionamento trasformazionale non hanno incontrato difficoltà a produrre le stesse immagini mentali una volta che ne hanno sentito la descrizione fatta da altri.
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Gli esempi in cui viene utilizzato un tale ragionamento possono avere diversi livelli di difficoltà, di efficacia e di generalità; quasi sempre, però, si è osservato che il ragionamento trasformazionale può essere utile per numerose funzioni cognitive, come condurre gli studenti a porsi nuove domande e problemi, a generare congetture, validarle e produrre legami tra idee matematiche. Risulta perciò importante promuovere nelle attività di classe lo sviluppo di questo tipo di ragionamento. Un software di geometria dinamica come Cabri, per esempio, può essere uno strumento utile per aiutare gli studenti a produrre ed elaborare ragionamenti trasformazionali.

Contesto in cui si colloca il progetto didattico
In questo articolo presentiamo un lavoro realizzato in una classe seconda di un liceo scientifico, finalizzato all’esplorazione di problemi geometrici in ambiente Cabri. Il contesto in cui gli studenti hanno lavorato è quello di un percorso attento alla costruzione di significato per gli oggetti della geometria e per le affermazioni relative alle proprietà che li caratterizzano e alle relazioni tra essi. In particolare, abbiamo sempre cercato di lavorare secondo le seguenti tre fasi successive: a) proposta di attività significative, utili a mettere gli studenti in condizioni di scoprire da soli proprietà geometriche; b) formulazione di tali proprietà in termini di proposizioni condizionali; c) dimostrazioni delle proprietà formulate.
Sotto certi aspetti il nostro percorso si caratterizza in quanto particolarmente attento all’insegnamento/apprendimento del processo dimostrativo, a partire dall’esplorazione di una situazione, per passare alla formulazione di congetture e, successivamente, alla loro validazione o confutazione, mediante costruzione di controesempi o di dimostrazioni. Il significato di dimostrazione, condiviso con gli studenti, è quello di un procedimento che ha la funzione di spiegare perché una congettura funziona. In termini più adulti, la dimostrazione ha il ruolo di spiegare la validità di una proposizione in una teoria, precisando la relazione di conseguenza logica tra quella proposizione, gli assiomi e i teoremi stessi di quella teoria. L’ambiente Cabri, per le sue caratteristiche di consentire la costruzione di figure geometriche e la dinamicità tramite la funzione di trascinamento, favorisce l’attività di osservazione, esplorazione e ricerca di proprietà; per tale ragione favorisce naturalmente la produzione di congetture che possono poi essere messe alla prova e validate. Nel progetto didattico qui descritto gli studenti hanno lavorato in piccoli gruppi alla risoluzione di problemi aperti, che non offrono una tesi da dimostrare, ma una situazione in cui cercare risultati e quindi dimostrarli. Tali problemi favoriscono la ricerca da parte degli studenti stessi, tramite la posizione di domande del tipo ‘Che cosa succederebbe se…’, ‘Che cosa succederebbe se non…?’, ‘E se passasse per…?’. Al termine di ogni attività di lavoro su problemi aperti con Cabri, abbiamo previsto una discussione collettiva alla presenza dell’intera classe per condividere osservazioni e risultati, grazie anche alla mediazione dell’insegnante che guida e orienta la discussione stessa. Attraverso le discussioni si vuole introdurre gli studenti alla pratica di un ‘discorso’ matematico, quindi ad appropriarsi di un linguaggio che permetta loro di esprimere le proprie argomentazioni in modo consapevole e appropriato. In particolare abbiamo curato l’uso della condizionalità, ossia del “se … allora” nella formulazione delle congetture prodotte. Durante le attività l’insegnante passa tra i vari gruppi per controllare che i ragazzi non si trovino bloccati nella risoluzione delle proposte di lavoro. I suoi interventi sono finalizzati a fare in modo di:
• evitare che gli alunni chiudano anticipatamente il problema;
• stimolare la ricerca;
• aiutare gli studenti ad acquisire maggiore autonomia;
• far capire agli studenti che qualunque tentativo può farli progredire nella loro ricerca;
• dare suggerimenti, ma senza stabilire a priori che cosa si può e che cosa non si può fare;
• interagire con i vari gruppi senza che i suoi interventi orientino in modo determinante l’attività degli studenti.
In altri termini, l’insegnante dovrebbe assumere il ruolo di suggeritore/stimolatore, per esempio riformulando con espressioni appropriate una frase incompleta, oppure dando particolari suggerimenti per fare in modo che i ragazzi stessi si correggano.
Gli obiettivi generali di carattere metodologico-trasversale che ci proponiamo possono essere riassunti come segue:
• Costruire figure che godano di particolari proprietà;
• Esplorare un problema aperto;
• Individuare invarianti, tramite le funzionalità di Cabri, come il trascinamento o la misura;
• Individuare relazioni geometriche tra figure, mettendo in evidenza i legami funzionali (quali oggetti della figura variano in dipendenza di quali altri) e variazionali (come variano);
• Formulare nuove congetture, tramite l’esplorazione della configurazione geometrica;
• Testare le congetture formulate, tramite prove su casi particolari, o trascinamento, o costruzioni, o altro;
• Comunicare i risultati ottenuti all’interno di una discussione;
• Dimostrare le congetture formulate.
Questi obiettivi mirano a rendere gli studenti sempre più autonomi nel costruire una dimostrazione dopo aver realizzato un processo di esplorazione, ma favoriscono, nel percorso, anche l’attivazione di ragionamenti induttivi e trasformazionali, per cogliere generalità a partire da casi particolari e per individuare, nelle variazioni di una figura, gli elementi invarianti.

Il progetto didattico
Il progetto didattico, oltre a essere stato realizzato in classe, è stato seguito da una fase di analisi dei risultati e infine è stato pubblicato come prodotto di divulgazione destinato agli insegnanti, sotto forma di un CD-ROM dal titolo QUADERNO INTERATTIVO DI GEOMETRIA (Mariotti et al., 2004). Questo CD contiene attività rivolte a studenti del biennio di scuola secondaria di secondo grado e si articola in due percorsi:
A. il primo fondato sull’idea di costruzione, intesa come problema geometrico e, quindi, teorico (responsabile prof. Mariotti dell’Università di Pisa);
B. il secondo fondato sulla nozione di problema aperto, ossia di problema che, per la sua strutturazione, dovrebbe favorire attività di esplorazione, osservazione, scoperta e produzione di congetture (responsabile prof. Robutti dell’Università di Torino).
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Scarpe Raso LP Alta di in 5cm Sala Ballo da da qualità Ballo Ballo 217 HROYL Latino da per Scarpe Donna Nero 5vPTnSz In questo articolo ci riferiamo al percorso B: Congetturare e dimostrare, descritto in queste pagine. Il percorso si propone di avviare gli studenti al sapere teorico e, in particolare, all’acquisizione del senso e del significato dei concetti di dimostrazione e di teoria. L’ipotesi che abbiamo fatto è che le classi a cui ci rivolgiamo si trovino in una sorta di situazione pre-euclidea, nella quale, cioè, siano possedute varie conoscenze di geometria e si sappiano utilizzare strumenti, come la riga e il compasso o Cabri, ma dove tali conoscenze e pratiche d’uso non siano ancora sistemate e organizzate in una teoria (Robutti, 2005; Paola, 2004).
Le attività del percorso B sono le seguenti:
1) Quadrilateri
2) Il problema dei quattro quadrati
3) Parallelogrammo
4) Quadrilateri circoscrivibili
5) Poligoni inscrivibili
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6) Quadrilateri e circonferenze
7) Triangoli e circonferenze 1
Triangoli e circonferenze 2
9) L’Isola del Tesoro

Ciascuna di esse costituisce una situazione problematica formulata in modo aperto. Per esempio, la seconda:

IL PROBLEMA DEI QUATTRO QUADRATI

Situazione
E’ dato un quadrilatero ABCD. Sui suoi lati AB, BC, CD e AD costruisci quattro quadrati esternamente al quadrilatero. Determinati i centri E, F, G, H dei quattro quadrati, uniscili per ottenere il quadrilatero EFGH.
Proposta di lavoro
1. Dopo aver letto attentamente il testo del problema, esplora la situazione e formula le tue congetture (del tipo se … allora) in merito a quali configurazioni può assumere EFGH, al variare di ABCD.
2. Dimostra alcune delle congetture che hai fatto.

La proposta di lavoro, trattandosi di un problema aperto, non contiene l’esplicitazione di tutte le richieste, in modo da spingere i ragazzi stessi a porsi domande e a riflettere sulle proprietà geometriche dei quadrilateri per individuare possibili relazioni geometriche tra il quadrilatero di partenza (ABCD) e il quadrilatero (EFGH) ottenuto congiungendo i centri dei quattro quadrati (Figura 1).
Utilizzando il comando di trascinamento per osservare le caratteristiche che assume il quadrilatero EFGH in corrispondenza di modifiche effettuate sul quadrilatero ABCD, gli studenti possono spingersi verso la teoria, formulando nuove congetture.

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Fig. 1

Nella fase di costruzione i ragazzi devono però rendersi conto che per alcune costruzioni hanno bisogno di utilizzare le conoscenze di geometria; per esempio, non possono costruire i quadrati e i loro centri “a occhio”. Per costruire la figura occorre ripetere per quattro volte uno stesso procedimento, ossia disegnare il quadrato dato il lato e il centro di tale quadrato; per velocizzare la fase di costruzione è possibile utilizzare una macro-costruzione, un utile strumento di Cabri che permette agli studenti di creare, salvare e usare quando lo ritengono opportuno, una procedura di costruzione di un dato oggetto.
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Proflex Bloch Sole scarpe in Split pelle da ballo 200 Rf5qU Dopo aver costruito la figura con Cabri, in ogni gruppo i ragazzi possono testare la correttezza o meno della loro costruzione, utilizzando la prova del trascinamento, cioè verificando se, modificando liberamente il quadrilatero iniziale (ABCD), ad esempio muovendo uno dei vertici del quadrilatero, in corrispondenza a tali modifiche, i quadrati si muovono di conseguenza, mantenendo intatta la proprietà di essere ancora quadrati, mentre i punti E, F, G, H continuano ad essere i centri di tali quadrati.
Se la costruzione è corretta si osserva perciò che i punti A,B,C,D possono essere liberamente mossi sullo schermo (perché hanno due gradi di libertà), mentre i punti del quadrilatero EFGH, tra cui i suoi vertici, non possono essere liberamente spostati sullo schermo, si tratta di punti non liberi (con zero gradi di libertà). Durante la fase di esplorazione le possibili congetture formulate grazie all’uso del trascinamento e di altri strumenti, quali la misura di lunghezze e angoli, sono:
• SE ABCD è un quadrato ALLORA EFGH è un quadrato e i punti EFGH sono i punti medi dei lati di ABCD.
• SE ABCD è un rettangolo ALLORA EFGH è un quadrato e i vertici di ABCD appartengono ai lati di EFGH (ma non sono più i punti medi).
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• SE ABCD è un rombo ALLORA EFGH è un quadrato (ma i vertici di ABCD non appartengono ai lati di EFGH).
• SE ABCD è un parallelogramma ALLORA EFGH è un quadrato.
• SE ABCD è un quadrilatero qualunque, ALLORA EFGH ha le diagonali uguali e perpendicolari.

Analizzando il problema a priori, ci si aspetta che i ragazzi comincino questa fase esplorando inizialmente a caso, provando a trascinare uno o più vertici di ABCD, per poi passare ad analizzare casi generali e particolari (figure convesse, figure concave, quadrati, rettangoli, parallelogrammi generici, trapezi …). È probabile che inizialmente gli studenti osservino la continua variazione dei quadrilateri sullo schermo, cercando di trarre informazioni, e che solo in un secondo tempo comincino a formulare congetture. A priori non è possibile prevedere se i vari gruppi inizieranno a elaborare congetture considerando ABCD un parallelogramma particolare (un quadrato, un rettangolo, un rombo) per arrivare successivamente a considerare il caso in cui ABCD sia un quadrilatero generico, o viceversa, poiché i vari gruppi hanno piena libertà di indagare.
A posteriori abbiamo osservato che gli studenti usano procedimenti diversi per risolvere questo problema: qualche gruppo partendo dalla situazione più generale, qualche altro analizzando prima qualche caso particolare. Forse quest’ultima è una strategia vincente in questo caso, perché consente di ottenere dei risultati in casi semplici, prima di affrontare quelli più complicati, che se affrontati per primi possono bloccare.
Patent Nero 29561 Black Softline con Donna Cinturino alla Caviglia Sandali zqwTnqRC Descriviamo brevemente l’osservazione dell’attività di classe qui di seguito, concentrandoci su una coppia di studenti.
I ragazzi costruiscono la figura in Cabri.
1.2 Controllano di averla costruita bene (soprattutto per quanto riguarda i quadrati sui lati), utilizzando la prova del trascinamento.
1.3 Quindi cominciano esplorando a caso (wandering dragging), passano velocemente attraverso casi generali e particolari, quadrilateri convessi e concavi, muovendo abbastanza in fretta.
1.4 I ragazzi, mentre muovono il mouse notano che i vertici di ABCD possono essere all’interno o all’esterno di EFGH, e capiscono che c’è una configurazione per cui uno dei vertici di ABCD appartiene a un lato di EFGH (Figura 2).
1.5 Piero: Magari è un quadrato.
1.6 Gli studenti, quando osservano che un vertice di ABCD appartiene a un lato di EFGH, fermano l’immagine, lasciano il punto che stavano trascinando. Quindi col mouse afferrano un altro punto e lo trascinano finché ottengono un quadrato (ABCD), fermano l’immagine e osservano. Poi mettono le misure (Figura 3). Quindi scrivono la congettura “Se ABCD è un quadrato. EFGH è un quadrato. I lati di EFGH passano per i vertici di ABCD”.

Fig. 2

Fig. 3

L’affermazione “Magari è un quadrato” scaturisce dal notare che un vertice (A) appartiene a un lato del quadrilatero EFGH, dal vedere dinamicamente la possibilità che anche gli altri tre vertici possano stare sui lati del quadrilatero e dall’anticipare il risultato “quadrato” come condizione di massima simmetria. Si tratta di un esempio di ragionamento trasformazionale che aiuta gli studenti a formulare una congettura in un caso particolare, che dà loro modo di risolvere il problema tramite un risultato, per passare successivamente ad altre configurazioni. Il trascinamento è il valore aggiunto, rispetto alla staticità della carta e matita, che favorisce l’esplorazione degli studenti e la formulazione di congetture, anticipando risultati sulle configurazioni geometriche. La dinamicità del software influenza la dinamicità del pensiero, in questo supporta il ragionamento trasformazionale (che potrebbe esistere di per sé anche in ambiente carta e matita). La misura costituisce un altro supporto, che offre la possibilità di verificare la congettura formulata, per avere conferma del risultato dell’intuizione.
Fase finale del processo sarà la dimostrazione della congettura, condotta ovviamente con ragionamento deduttivo, ma aiutata certamente da tutta la fase esplorativa precedente.
Il CD che abbiamo preparato si presenta come uno strumento per il docente, in quanto mostra non solo i problemi, ma anche le varie congetture e le dimostrazioni, insieme con la descrizione di tutta l’attività di classe, corredata da parti di protocolli di gruppi di studenti, parti di discussioni collettive e soluzioni scritte dai ragazzi stessi. Si tratta di uno strumento utile per l’insegnante, proprio perché offre materiali sperimentati e la “cronaca” delle sperimentazioni, in modo che siano visibili difficoltà degli studenti, interazione con l’insegnante e costruzione di significati matematici.

Bibliografia
Balacheff, N. (1987). Processus de preuve et situations de validation, Educational Studies in mathematics, 18, 147-176.
Bell, A. (1976). A study of pupils’ proof-explanations in mathematical situations, Educational Studies in Mathematics, 7, 23-40.
Mariotti, M.A, Paola, D, Robutti, O. & Venturi, D. (2004). Quaderno Interattivo di Geometria, CD. Media Direct.
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Paola, D. (2004). Software di geometria dinamica per un sensato approccio alla dimostrazione in geometria: un esempio di Laboratorio di matematica, Progetto Alice, v. 5, n.13, 103 – 121.
Tacco Donna Da Metà Combattimento Con Biker cm Le Polpaccio 5 UOMOGO Stivali Signore Lacci Rosso ღ I 5 wxnSWR4 Robutti, O. (2005). Un progetto con Cabri per la scuola superiore, in: L. Giacardi, M. Mosca & O. Robutti (eds.), Mathesis Subalpina, Conferenze e Seminari, 2004-2005, 281-292.
Simon, M. (1996). Beyond inductive and deductive reasoning: the search for a sense of knowing, Educational Studies in mathematics, 30, 197-210.